（LeetCodeHot100）338. 比特位计数——counting-bits

zhangzhang2025-11-132025-11-13

338. 比特位计数counting-bits

给你一个整数 n ，对于 0 <= i <= n 中的每个 i ，计算其二进制表示中 1 的个数 ，返回一个长度为 n + 1 的数组 ans 作为答案。

示例 1：

输入：n = 2
输出：[0,1,1]
解释：
0 --> 0
1 --> 1
2 --> 10

示例 2：

输入：n = 5
输出：[0,1,1,2,1,2]
解释：
0 --> 0
1 --> 1
2 --> 10
3 --> 11
4 --> 100
5 --> 101

提示：

0 <= n <= 105

此题没有见过，直接学习
(有相应的内置函数用于计算给定的整数的二进制表示中的 1 的数目，例如Integer.bitCount)

要解决这个问题，我们需要计算从 0 到 n 的每个整数的二进制表示中 1 的个数，并返回一个包含这些计数的数组。可以利用动态规划结合二进制数的特性高效求解，避免对每个数单独计算（时间复杂度可优化到 O(n)）。

核心思路：利用二进制数的奇偶性和右移特性

>> 是右移位运算符，作用是将一个数的二进制表示向右移动指定的位数，并返回移动后的结果（以十进制形式呈现）

观察二进制数的规律：

若一个数 i 是偶数，则 i 的二进制表示和 i/2 的二进制表示完全相同（只是末尾多了一个 0），因此 1 的个数也相同（例如 4(100) 和 2(10) 都只有 1 个 1）。
若一个数 i 是奇数，则 i 的二进制表示比 i-1（偶数）多一个 1（末尾的 0 变成 1），因此 1 的个数是 i-1 的计数加 1（例如 5(101) 比 4(100) 多一个 1，计数为 1+1=2）。

结合右移操作（i >> 1 等价于 i/2），可以推导出递推公式：

当 i 为偶数：count[i] = count[i >> 1]
当 i 为奇数：count[i] = count[i >> 1] + 1

简化后可统一为：count[i] = count[i >> 1] + (i & 1)（i & 1 用于判断奇偶，奇数为 1，偶数为 0）。

代码实现

当你用 new int[n + 1] 创建数组时，Java 会自动为数组中的每个元素分配默认值：
- 整数类型（int）的默认值是 0；
- 布尔类型默认 false，引用类型默认 null 等。

class Solution {
    public int[] countBits(int n) {
        int[] ans = new int[n + 1]; // 存储 0~n 的每个数的 1 的个数
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // 利用二进制特性：i 的 1 的个数 = i/2 的 1 的个数 + (i 是否为奇数)
            ans[i] = ans[i >> 1] + (i & 1);
        }
        return ans;
    }
}